Estimación final

Las ecuaciones diferenciales que modelan la salida de agua en el estanque son:

(1)

y (2)

(Los coeficientes que acompañan las ecuaciones cambiaron, debido a que ahora hemos considerado que el diámetro basal del estanque es de 31 cm.

Considerando que la altura inicial de agua es de 19,87 cm., la solución de la ecuación diferencial (2) es:

cm

Llevando este resultado a la ecuación 1 obtenemos:

Q (t) = 224,92(8,92-0,149t) cm³/s

V (t) = 44,39(8,92-0,149t) cm/s= 0,4439(8,92-0,149t) m/s

Ahora que conocemos la velocidad de salida del chorro de agua, podemos llevar este resultado a la ecuación que modela el movimiento del barco y además considerando que la densidad del agua es de 1000 Kg/m3 y que el área de salida del chorro es de 5,067 cm², la ecuación nos queda de la siguiente forma:

(1)

(Unidades SI) para 0

(2)

Para 2,5

Para una masa de 2,43 kg. y un valor de C_p*A_d de 0.02371 reescribimos la ecuación, ahora planteándola como una ecuación diferencial de orden 2 para la posición:

(1)

(2)

Resolviendo numéricamente la ecuación 1 en maple, para las condiciones iniciales v(0)=x(0)=0, obtenemos que la posición en el tiempo 2,5 es 3,23m y la velocidad es 2,59 m/s en ese mismo instante de tiempo (en el cual deja de actuar el chorro).

Los valores obtenidos con la ecuación uno, serán utilizados como condiciones iniciales para resolver numéricamente la ecuación dos, así al resolver con maple la ecuación 2 para las condiciones iniciales antes mencionadas, obtenemos que x(t)=5 para un tiempo de 10,3 segundos.

Por lo tanto, nosotros creemos que nuestra embarcación demorará un total de 10,3 segundos en recorrer los 5 metros.

Análisis de fuerza que ejerce el chorro sobre el barco

Realizaremos el supuesto de que el área de salida en cada una de las secciones corresponde a la mitad del área de entrada, además consideraremos flujo permanente.
Llamaremos ve(t) a la velocidad de entrada del chorro en función del tiempo (calculada en análisis de salida del chorro), con esto y suponiendo que el chorro se divide en dos porciones iguales, la ecuación de conservación de la masa nos dice que:

,

como asumimos que ambas porciones son iguales, tenemos que v1 (t) = v2 (t), con esto obtenemos .

Ahora proyectaremos la ecuación de cantidad de movimiento en el eje X.

,

reemplazando con los valores conocidos:

Esta es la fuerza que la placa ejerce sobre el fluido, por lo tanto la fuerza que el fluido ejerce sobre la placa es:

,

agregaremos un coeficiente alfa de eficiencia, el cual será determinado empíricamente.

,

con A el área de salida del chorro.

Ahora en el barco sabemos que:

,

con v la velocidad del barco y m su masa.
Ahora suponemos que el chorro actúa durante un periodo de segundos, con esto y sabiendo que la expresión de las fuerzas viscosas es :

,

con esto la ecuación nos queda, para los primeros segundos:

,

con esto resolvemos la ecuación diferencial sabiendo que v (0) = 0, lo que nos permite conocer la velocidad del barco entre 0 y segundos. Luego, con esto obtenemos la posición en función del tiempo.

Luego, la ecuación para tiempos que sobrepasan los segundos es:

,

donde resolvemos la ecuación diferencial y obtenemos la expresión de la velocidad para tiempos mayores que , sabiendo el valor de
v () , con la ecuación pasada. Esto nos permite conocer la posición con respecto al tiempo.

Estimación del caudal y velocidad de salida del chorro

Supondremos que la altura del estanque es de 1,4m (este dato no se encuentra en las diapositivas), además simplificaremos el estanque de forma de que su volumen se calcule como el producto del área basal por la altura (ya que tampoco tenemos más datos acerca de la geometría del estanque) con esto podremos calcular el caudal de salida por la sección de diámetro 1 pulgada, lo que equivale a un área de 5,067 cm².

Haciendo un análisis de conservación de la masa, obtendremos que los cambios de masa en el volumen de control serán iguales al flujo másico de salida. Matemáticamente:

Por los datos iniciales sabemos que A_b=107,14cm², además la densidad del agua es una constante por lo cual sale de la derivada, por último, expresando el caudal de salida como V_s*5,067 obtendremos la siguiente expresión:

,

con la velocidad expresada en cm/s y

Ahora debemos realizar un análisis de energía, para ello consideramos la superficie 1 como la superficie libre del estanque y la superficie 2 como la superficie de salida, así nuestro balance de energía es:

,

finalmente reemplazando por valores y reemplazando el caudal por la expresión obtenida de la conservación de la masa obtenemos:

Por un sentido físico sabemos que debemos utilizar la raíz negativa, ya que sabemos que la altura disminuye con el paso del tiempo, por lo tanto su derivada debe ser negativa así tenemos que:

Debemos resolver la ecuación diferencial que se presenta, sabiendo que h(0)=140cm.

Proceso de Construcción

Debido a consideraciones de tiempo y eficiencia en el proceso constructivo, se optó por modificar la técnica y materiales originalmente considerados para este propósito. Dadas las propiedades del plumavit como material liviano que permite ser moldeado en diferentes formas, se eligió dicho elemento como el constituyente principal del casco de la embarcación. Para ello, se utilizaron 5 placas de 2 cm de espesor, cortadas utilizando un modelo representativo de la cubierta del barco, que en superficie transversal, es la más extensa de toda la estructura.

Las placas fueron adheridas utilizando cola fria, luego, para moldear el casco del barco, se escogió utilizar un cuchillo precalentado, que permitía hacer sacados precisos a el conjunto de placas y a la vez, sellaba el material impidiendo los conocidos problemas de desmembramiento que el plumavit presenta.

Finalmente, con el fin de conseguir una superficie lisa que permita maximizar las condiciones hidrodinámicas de la embarcación, se decidió recubrir la misma con una masilla utilizada en general para uniones de albañilería, la cual es aplicada directamente sobre el plumavit previo recubrimiento con una huincha rugosa que otorga la adherencia necesaria para la pasta que luego será aplicada sobre la misma.

La nivelación de la superficie del barco se realizará en forma empírica utilizando pesos que serán agregados a la estructura de plumavit, con el fin de conseguir una cubierta lo más horizontal posible en condición de flotación. Además, la terminación del barco corresponderá a un recubrimiento en pintura que otorgue impermeabilidad y que además contribuya al componente estético del proyecto.

Para la placa se usarán dos cucharones metálicos iguales, los que serán soldados entre sí con el fin de imitar un álabe de una turbina Pelton, diseño que fue escogido finalmente por su eficiencia y maximización del impulso generado por el chorro. Dicha estructura será acoplada a una estructura de madera que permitirá sostener la placa, y a la vez, otorgarle la movilidad de +-3 cm requerida para ajustar a la altura del chorro.

Diseño Prototipo

En consideración de los análisis anteriormente estudiados, pudimos llegar al diseño primario de nuestra embarcación.

Acorde a las nomenclaturas enunciadas en el análisis de estabilidad, definimos los siguientes parámetros:

a = 18 cm

n = 2,5

A su vez nos damos un valor para el volumen de carena sobrestimado con una holgura suficiente que nos asegure la estabilidad Vc = 1,2 L = 1200 cc

De aquí que, considerando el valor calculado de la posición del centro de gravedad (H_CG=10,8cm), podemos ver que la condición de estabilidad sí se cumple.

Ya teniendo asegurada la estabilidad, pasemos a ver las correcciones hidrodinámicas a realizar:

Al rectángulo base utilizado para el análisis anterior, le agregamos terminaciones “en punta” tanto en la proa como en la popa, siendo la primera de un largo de 10 cm y la segunda de 8. En el centro del barco, agregamos 3cm hacia babor y 3 hacia estribor uniendo estos puntos (mediante curvas suaves) con los vértices del rectángulo.

Con respecto al volumen sumergido, éste tendrá forma similar a un elipsoide cuya profundidad será de 1,52 cm aproximadamente (Calculado tomando la superficie de flotación como una elipse y el volumen de carena como el volumen de medio elipsoide e igual a 1,2 L).

La obra muerta subirá en forma recta ya que esto no afecta prácticamente en nada el movimiento del barco.

Para obtener los 5 cm de altura de la obra muerta, realizaremos experiencias de laboratorio que nos permitirán identificar de manera empírica la altura por sobre la línea de flotación. Por último, sobre el diseño de la obra muerta, incluiremos flotadores justo por sobre la línea de flotación lo que entregará aún mayor estabilidad a nuestra embarcación, además de ayudarnos a fijar la línea de flotación.

Diseño Placa

Los tres prototipos que se someterán a prueba son los siguientes:

Con el primero, basándose en lo explicado en el marco teórico, intentamos que el flujo cambie de sentido luego del impacto, para que así el cambio en la cantidad de movimiento, sea mayor.

La segunda placa corresponde a la forma de un aspa de la turbina Pelton, la cual posee una gran eficiencia aprovechando golpes directos de flujo.

Por último la tercera placa pretende minimizar la interferencia del rebote en el flujo incidente.

Materiales

Como deseamos que el barco sea lo más liviano posible, el material escogido para el casco (en primera instancia), será papel masché, recubierto de plástico para impermeabilizarlo.

Para el esqueleto utilizaremos cartón de alta resistencia (doble corrugado). Las cuadernas tendrán un espesor de 5 mm separadas 4 cm unas de otras.

Para la transmisión de la fuerza aplicada en la placa implementaremos un pequeño reticulado en la base del esqueleto (con palitos de maqueta).

Para definir el material de la placa, se ensayarán placas de los tres tipos, de plástico y de aluminio.

Consideraciones Hidrodinámicas

Con el estudio hidrodinámico, pretendemos buscar la forma adecuada de nuestra embarcación de modo que las fuerzas que se oponen al movimiento sean lo menor posible. Para esto debemos tener en consideración la fórmula expresada en el marco teórico.

En ella apreciamos que para minimizar las fuerzas que se oponen al movimiento, tenemos que reducir el área proyectada en dirección perpendicular al movimiento, así como el coeficiente de arrastre.

El coeficiente de arrastre es una magnitud que se determina de manera empírica, sin embargo sabemos que éste depende básicamente de la forma y material constituyente de nuestra embarcación. Así vemos que el valor del coeficiente de arrastre será menor si:

- Aumenta la esbeltez (razón largo/ancho)

- Disminuye el área de contacto entre la embarcación y el fluido.

- El material es más liso.

- Mayores fuerzas de presión en la popa del barco. (lo que se logra con una popa suave que consiga juntar las líneas de corriente)

Tomando en cuenta todos los aspectos anteriores, la forma más hidrodinámica se logra con la siguiente superficie de flotación:

Donde, L/a tome el máximo valor posible (sin olvidar las consideraciones de estabilidad).

Ahora para disminuir el área de contacto, decidimos que el volumen sumergido tendrá la siguiente forma:

La forma corresponde a un semi-elipsoide.

También deberemos tener en cuenta que el material escogido debe ser lo más liso posible (para reducir las fuerzas de roce viscoso). En el caso de que el material idóneo no sea suficientemente liso, consideraremos plastificarlo o someterlo a algún tratamiento que alise la superficie.

Con esto, lograremos minimizar al máximo el coeficiente de arrastre (el valor se determinará experimentalmente). Con respecto a la minimización del área proyectada, no podemos hacer mucho al respecto dado que su valor depende del volumen de carena y el largo de la embarcación, donde el primero viene dado por el peso total de la embarcación y el segundo es un parámetro de diseño.

Consideraciones para la Placa

Es necesario diseñar una placa que reciba el impacto de un chorro de agua de características dadas, con tal de mover la embarcación.

Para el diseño óptimo de la placa debemos considerar:

- Forma que maximice el efecto del impacto

- Material liviano que no desestabilice la nave

- Posición

Además, debemos considerar que el chorro se verá afectado por la gravedad, por lo tanto a medida que la embarcación se aleje del estanque, el agua golpeará la placa con un ángulo distinto de 90º (por lo tanto tendremos una fuerza en el eje vertical que debemos considerar).

Del análisis realizado en el marco teórico, podemos deducir que la placa debe lograr que el momentum final del fluido, tenga una componente negativa en el eje X, de la mayor magnitud posible (así el cambio en la cantidad de movimiento del agua será mayor y por lo tanto la fuerza que ésta ejerce sobre nuestra embarcación también).

Sin embargo, debemos tener la precaución que el rebote del chorro no interfiera el impacto del chorro principal, también hay que considerar la variación del ángulo de llegada del chorro a la placa, producto de la gravedad.

Otro aspecto que hay que tomar en cuenta, es el momento producido por esta fuerza, la cuál podría provocar el giro de la embarcación o el hundimiento de la misma.

El último aspecto importante a considerar, es la perturbación que puede causar la caída del agua proveniente del chorro sobre el canal donde se encuentra nuestra embarcación, ya que esta perturbación podría causar el desvío del barco, situación nefasta para nuestras pretensiones.

En consideración de todo lo anterior y tomando en cuenta que es muy difícil predecir el rebote del agua al golpear la placa, hemos decidido encontrar la forma óptima de esta placa, de manera empírica. Para ello diseñaremos 3 prototipos que luego serán ensayados en el laboratorio, para posteriormente analizar cuál de ellos es el más eficiente y estudiar la posibilidad de diseñar un nuevo prototipo que considere los aspectos beneficiosos de cada uno de los 3 modelos ensayados.

Los 3 prototipos se explicarán en la sección de diseño.